Миненко родился в 1963 году. В 1988 году окончил Московский военный юридический институт. В том же году поступил на службу в Сочинскую гарнизонную военную прокуратуру. Позже занимал должности старшего помощника прокурора города и заместителя прокурора Адлерского района.

В 2006 году был переведен на должность заместителя прокурора Центрального района. В феврале 2007 года назначен исполняющим обязанности главы районной прокуратуры, в конце апреля того же года утвержден в должности.

В 2009 году занимался делом о массовых убийствах безнадзорных животных и причастности к этому процессу МУП «Спецавтохозяйство по уборке города». В поле его деятельности это дело появилось после того, как на местном телевидении прошел сюжет с записями снятыми защитниками животных.

На этих кадрах были запечатлены мертвые собаки в печи на свалке в Адлерском районе курорта. По данным зоозащитников, речь могла идти о тысячах убитых животных. В результате, сочинцы вышли на пикеты с целью призвать к гуманному решению проблемы с бездомными животными.

Кроме того, в том же 2009 году Анатолий Миненко не усмотрел нарушений при задержании в Сочи активистов движения «Солидарность». Активисты участвовали в одиночных пикетах, во время их проведения около 10 человек были задержаны и доставлены в отделение милиции.

Их продержали там несколько часов, составили протоколы за нарушения установленного протокола при организации массовых мероприятий, а затем отпустили до суда, которого в итоге так и не последовало. Позже активисты «Солидарности» обвинили Миненко в поощрении нарушений конституционных прав граждан.

Анатолий Миненко покинул свой пост в январе 2010 года, выйдя на пенсию по выслуге лет. После выхода в отставку, перешел в адвокатуру.